Question

已知F₁，F₂分别是椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点．曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，过点F₁的直线l交曲线C于x轴上方两个不同的点P，Q，设=λ．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AF₂的内切圆的方程；
（Ⅲ）若λ=，求直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F₂（1，0），∴．…（2分）
∴抛物线C的方程为y²=4x． …（3分）
（Ⅱ）∵F₁（-1，0），F₂（1，0），B，∴△F₁AF₂是等边三角形．
∴△F₁AF₂的内切圆的圆心为，半径为，…（5分）
∴△F₁AF₂的内切圆的方程为． …（6分）
（Ⅲ）设l：y=k（x+1），k＞0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）．
将l代入C得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0． …（8分）
∵l与C有那样的两个交点，∴由△＞0可得0＜k＜1．
∵，∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂． …（9分）
又，根据x₁x₂=1可得：x₁=λ，． …（10分）
当时，根据得． …（11分）
∴直线l的方程为4x-5y+4=0． …（12分）
分析：（Ⅰ）确定抛物线C的顶点为坐标原点，焦点，由此可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）确定△F₁AF₂是等边三角形，求出△F₁AF₂的内切圆的圆心与半径，可得△F₁AF₂的内切圆的方程；
（Ⅲ）设l的方程代入C，由△＞0可得0＜k＜1，根据，结合韦达定理，可求直线的斜率，从而可得直线l的方程．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形的内切圆，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．