Question

如图所示，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明:AE⊥PD;

(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,

求二面角E—AF—C的余弦值.

Answer 1

（1）证明略（2）所求二面角的余弦值为

解析:

(1)  由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,

可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.

又BC∥AD,因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.

而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,

所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD,

所以AE⊥PD.

(2)  如图所示，设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH、EH,

由(1)知,AE⊥平面PAD,

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中,AE=,

所以,当AH最短时,∠EHA最大,

即当AH⊥PD时,∠EHA最大.

此时,tan∠EHA===,

因此AH=.又AD=2,

所以∠ADH=45°,所以PA=2.

方法一  因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,

所以,平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,

过O作OS⊥AF于S,连接ES,

则∠ESO为二面角E—AF—C的平面角.

在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,

AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点,

在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,

又SE===,

在Rt△ESO中,cos∠ESO===,

即所求二面角的余弦值为.

方法二  由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

又E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(，，1），

所以=(，0，0），

=(，，1）.

设平面AEF的一法向量为

m=（x₁，y₁，z₁），

因此

取z₁=-1，则m=（0，2，-1），

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，

故为平面AFC的一法向量.

又=（-，3，0），

所以cos〈m,〉===.

因此,二面角E—AF—C为锐角,

所以所求二面角的余弦值为