题目内容

设函数f（x）=lnx+（1-m）x^-1+2m-1-mx（m＞0）
（1）当x≥1时，若f（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）证明： $数学公式$ ≥lnn（n∈N^*且n≥2）．

解：（1）∵当x≥1时，f（1）=0，要使f（x）≤0恒成立，只要函数f（x）在x≥1是减函数即可，
故有f′（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -m≤0，∴m（1- $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，∴m≥ $\text{[math]}$ ．
由x≥1可得 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，故当 m≥ $\text{[math]}$ ，f（x）≤0恒成立．故实数m的取值范围为[ $\text{[math]}$ ，+∞）．
（2）证明：令m= $\text{[math]}$ ，由（1）可得lnx $\text{[math]}$ ，即lnx² $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≥ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…+lnn-ln（n-1）=lnn（n∈N^*且n≥2）
即 $\text{[math]}$ ≥lnn（n∈N^*且n≥2）．即证．
分析：（1）当x≥1时，若f（x）≤0恒成立，只要函数f（x）是减函数即可，此时利用f′（x）＜0恒成立，从而得到m的范围．
（2）令m= $\text{[math]}$ ，得到不等式lnx $\text{[math]}$ ，再令 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，从而再求和即证．
点评：此题考查利用导数这个工具解决函数的单调性，及构造函数法证明不等式．