题目内容

椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M
（1）求椭圆C1的标准方程和动点M的轨迹C2的方程．
（2）过椭圆C1的右焦点F2作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF1的面积．
（3）设轨迹C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在轨迹C2上，
满足
QR
•
QS
=0求证：直线RS恒过x轴上的定点．
分析：（1）由题设知：2a=4，即a=2，2c=2，即c=1，b2=a2-c2=3，故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1，由MP=MF2，知动点M到定直线l1：x=-1，的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，由此能求出点M的轨迹C2的方程．
（2）
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1
消去x并整理得：7y2+6y-9=0，设A（x3，y3），B（x4，y4）则y3+y4=-
6
7
，y3y4=-
9
7
，由此能求出△ABF1的面积．
（3）Q（0，0），设R(
y12
4
，y1)  ，S(
y22
4
，y2)，kRS=
y2-y1
y22
4
-
y21
4
=
4
y1+y2
，由
QR
•
QS
=0，知
y
2
1
y
2
2
16
+y1y2=0，由题设知直线RS恒过定点（4，0）．
解答：解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，2c=2，即c=1，b2=a2-c2=3，故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1，由MP=MF2，知
∴动点M到定直线l1：x=-1，的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x（5分）
（2）
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1
消去x并整理得：7y2+6y-9=0
设A（x3，y3），B（x4，y4）则y3+y4=-
6
7
，y3y4=-
9
7
（7分）S△ABF1=
1
2
|F1F2|•|y3-y4|=|y3-y4|=
(y3+y4)2-4y3y4
=
12
2
7
（9分）
（3）Q（0，0），设R(
y12
4
，y1)  ，S(
y22
4
，y2)，kRS=
y2-y1
y22
4
-
y21
4
=
4
y1+y2
（10分）∵
QR
•
QS
=0∴
y
2
1
y
2
2
16
+y1y2=0∵y1≠0，y2≠0∴y1y2=-16x1x2=16（11分）∴直线RS：y-y1=
4
y1+y2
(x-x1)∴y=
4
y1+y2
x+y1-
4x1
y1+y2
∴y=
4
y1+y2
x+
y1(y1+y2)-4x1
y1+y2
=
4
y1+y2
x+
y
2
1
+y1y2-4•
y
2
1
4
y1+y2
=
4
y1+y2
x+
y1y2
y1+y2
=
4
y1+y2
x+
-16
y1+y2
=
4
y1+y2
(x-4)（13分）
故直线RS恒过定点（4，0）（14分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网设椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设M（0，-
4
5
），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线C2：y2=4x的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|=
5
3
，求椭圆C1的方程．
（2013•三门峡模拟）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为
1
2
，F1、F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C1的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C1上有两点P、Q，满足MF2与
NF2
共线，
PF2
与
QF2
共线，且
PF2
•
MF2
=0，求四边形PMQN面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
A2
+
y2
B2
=1(A＞B＞0)和双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，2c是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，P是它们在第一象限的交点，当cos∠F1PF2=60°时，下列结论中正确的是（　　）
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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