Question

（12分） 已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点．
（1） 求四棱锥的体积；
（2） 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；
（3） 若点为的中点，求二面角的大小．

Answer 1

(1)
（2）不论点在何位置，都有
（3）

解：（1） 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，


∴，
即四棱锥的体积为；
（2） 不论点在何位置，都有．
证明如下：连结，
∵是正方形，
∴．
∵底面，且平面，
∴．
又∵，
∴平面．
∵不论点在何位置，
都有平面．
∴不论点在何位置，
都有；
（3） 解法1：在平面内过点作于，连结．
∵，，，
∴Rt△≌Rt△，
从而△≌△，∴．∴为二面角的平面角．
在Rt△中，，
又，在△中，由余弦定理得
，
∴，即二面角的大小为．
解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系．则，从而，，，．
设平面和平面的法向量分别为，，
由，
取．由，
取．设二面角的平面角为，则
，
∴，即二面角的大小为．