Question

已知函数f（x）=x²+2x+a
（1）当a=

1

2

时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=

1

2

时，化简不等式，根据二次不等式的求解方法可得结果；
（2）f（x）＞0即x²+2x+a＞0对?x∈[1，+∞）恒成立，分离出参数a后转化为二次函数的最值问题可求；

解答：解：（1）当a=

1

2

时，f（x）＞1即x2+2x+

1

2

＞1，化简得2x²+4x-1＞0，
解得x＞-1+

6

2

或x＜-1-

6

2

，
∴不等式f（x）＞1的解集为：{x|x＞-1+

6

2

，或x＜-1-

6

2

}；
（2）f（x）＞0即x²+2x+a＞0对?x∈[1，+∞）恒成立，可化为a＞-x²-2x对?x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=-x²-2x，可知g（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，g_max（x）=-3，
∴a＞-3．

点评：本题考查一元二次不等式的求解、函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题常转化为函数最值问题解决．