Question

如图2-3-23,在△ABC中,∠BAC=60°,线段AD⊥平面ABC,AH⊥平面DBC,H为垂足.

求证:H不可能是△BCD的垂心.

图2-3-23

Answer 1

思路分析:证明“不可能”无法下手,从对反面“可能”考虑,用反证法证明.

证明:假设H是△BCD的垂心,则BH⊥CD.

∵AH⊥平面DBC,DC平面DBC,

∴AH⊥DC.

∵AH∩BH=H,∴CD⊥平面ABH.

又AB∩平面ABH,∴CD⊥AB.

∵AD⊥平面ABC,AB平面ABC,

∴AD⊥AB.

由于AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD.

∵AC平面ACD,∴AB⊥AC.

这与已知中∠BAC=60°相矛盾.

∴假设不成立.故H不可能是△BCD的垂心.

  绿色通道:(1)“不可能”类型的问题用反证法证明.“不可能”的反面是“可能”.

(2)注意反证法的证题过程.实际上∠BAC只要不是90°,这个题型的方法总是一样的.