Question

. (本题满分12分)已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：，且. （I）求动点P的轨迹G的方程；（II）过点B的直线与轨迹G交于两点M，N.试问在x轴上是否存在定点C ,使得 为常数.若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) x轴上存在定点C(1,0) ,使得 为常数

解析:

（Ⅰ）由余弦定理得：即16＝＝                           

＝，所以，即 （当动点P与两定点A,B共线时也符合上述结论），所以动点P的轨迹为以A,B为焦点，实轴长为的双曲线，所以，轨迹G的方程为 （Ⅱ）假设存在定点C(m,0),使为常数.①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为

，题意知，，设，则，于是

∴

＝ 

＝

要是使得 为常数，当且仅当，此时

②当直线l与x轴垂直时，,当时.

 故，在x轴上存在定点C(1,0) ,使得 为常数.