题目内容

圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)．

　　(1)证明不论m取什么实数，直线L与圆C恒交于两点．

 

　　(2)求直线L被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．

 

答案：
解析：

(1)证明：∵　L可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0

　　∴　L恒过的交点M(3，1)

　　又M(3，1)到圆心C(1，2)距离为

　　d=

　　∴　M(3，1)在圆C内，∴　过M(3，1)点的直线L与圆恒交于两点

　　(如图所示)．

　　(2)解：∵　在过M(3，1)的诸弦中，弦心距d≤，∴　在过M点的诸弦

　　中以垂直CM的弦长最短．

　　在Rt△CMB中，|BM|2=r2-d2=25-5=20，

　　∴　弦长=4

　　∵　kL=-，

　　kCM=-，L⊥CM

　　∴　=-1，∴　m=，∴　m=时，最短弦长为4．

 


练习册系列答案
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已知圆C：(x+1)2+(y-
3
)2=1，则圆心C的极坐标为
(2， 
2π
3
)
(2， 
2π
3
)
 （ρ＞0，0≤θ＜2π）
已知P是圆C：(x-1)2+(y-
3
)2=1上的一个动点，A（
3
，1），则
OP
•
OA
的最小值为
 
．
圆C：(x-1)2+(y-1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形(阴影部分)面积为S(如图所示)，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致是图中的(    )

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