Question

12．如图，某养殖户要建一个面积为800平方米的矩形养殖场，要求养殖场的一边利用旧墙（旧墙的长度大于4米），其他各边用铁丝网围成，且在矩形一边的铁丝网的正中间要留一个4米的进出口．设矩形的宽为x米，铁丝网的总长度为y米．
（Ⅰ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长度最小？
（Ⅱ）若由于地形限制，该养殖场的长与宽都不能超过32米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长度最小？

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定函数及定义域，运用基本不等式求最值，注意能否取到“=”；
（Ⅱ）用导数求求函数的单调区间，得到y在[25，32]单调递增，再求出函数最值．

解答 解：（Ⅰ）依题可得$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ \frac{800}{x}-4＞0\end{array}\right.$，∴0＜x＜200．
$y=2x+\frac{800}{x}-4$（0＜x＜200）…（3分）
∴$y≥2\sqrt{2x•\frac{800}{x}}-4=76$，当且仅当$2x=\frac{800}{x}$，即x=20时，y_min=76，
∴当长为40米，宽为20米时，所用的铁丝网的总长度最小为76米…（6分）
（Ⅱ）依题意$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤32\\ 0＜\frac{800}{x}≤32\end{array}\right.$，∴25≤x≤32…（8分）
$y=2x+\frac{800}{x}-4$（25≤x≤32），$y'=2-\frac{800}{x^2}=0$，
∴x=20…（9分）
当0＜x＜20时，y′＜0，∴函数在（0，20）内单调递减；
当x＞20时，y′＞0，∴函数在（20，+∞）内单调递增     …（11分）
∴函数$y=2x+\frac{800}{x}-4$在[25，32]单调递增，
∴当x=25时，y_min=78，
∴当长为32米，宽为25米时，所用铁丝网的总长度最小…（13分）

点评 本题主要考查基本不等式的应用，考查了函数的单调性，最值；考查运算求解的能力，考查应用意识、函数与方程、化归与转化等数学思想．