Question

3．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，且a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{4}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$+2^n-1a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*），即2a_n+1=a_n+2+a_n，可得数列{a_n}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+n•2ⁿ．利用“裂项求和”与“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可的．

解答 解：（1）∵a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*），即2a_n+1=a_n+2+a_n，∴数列{a_n}是等差数列．
设公差为d，∵a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，∴2×3+3d=12，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=$\frac{4}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$+2^n-1a_n=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$+n•2ⁿ=$\frac{1}{n（n+1）}$+n•2ⁿ．
设数列$\{\frac{1}{n（n+1）}\}$的前n项和为A_n，∵$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则A_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为B_n，
则B_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2B_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-B_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴B_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=A_n+B_n=$\frac{n}{n+1}$+（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．