Question

【题目】已知函数.

（1）若在单调递增，求的范围；

（2）讨论的单调性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）求导得，由于在上递增，转化为在上恒成立，即在上恒成立，根据一元二次不等式的性质，即可求出的范围；

（2）由（1）得，，令，得或，分类讨论，比较极值点，和，讨论参数范围，确定导数的正负，即可讨论函数的单调性；

解：已知，可知的定义域为，

则，

（1）因为在上递增，所以在上恒成立，

即：在上恒成立，

只需：即可，解得：，

所以在单调递增，则的范围为：.

（2）由（1）得，，

令，得或，

当时，即：时，

令，解得：，令，解得：，

则在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时，即：时，

令，解得：或，令，解得：，

则在区间，上单调递增，在区间上单调递减，

当时，即：时，恒成立，则在区间上单调递增，

当时，即：时，

令，解得：或，令，解得：，

则在区间，上单调递增，在区间上单调递减.

综上得：

当时，的增区间为，减区间为，

当时，的增区间为，，减区间为，

当时，的增区间为， 无减区间，

当时，的增区间为，，减区间为.