Question

5．对于函数y=f（x）（x∈D），若同时满足下列条件：①f（x）在D内是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数．
（1）判断函数f（x）=x²是否为闭函数，并说明理由；
（2）是否存在实数a，b使函数y=-x³+1是闭函数；
（3）若y=k+$\sqrt{x+2}$为闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在定义域R上不单调，即可得出结论．
（2）假设存在实数a，b使函数y=-x³+1是闭函数，根据函数的单调性列出方程组是否有解；
（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=x²在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）=x²在定义域R上不满足条件①，
∴f（x）=x²不是闭函数．
（2）假设存在a，b使函数y=-x³+1是闭函数，
∵y=-x³+1是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\\{a＜b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{3}+1=b}\\{-{b}^{3}+1=a}\\{a＜b}\end{array}\right.$，解得a=0，b=1．
∴存在实数a，b使函数y=-x³+1是闭函数；
（3）y=k+$\sqrt{x+2}$的定义域为[-2，+∞）．
若y=k+$\sqrt{x+2}$为闭函数，则存在区间[a，b]⊆[-2，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
∵y=k+$\sqrt{x+2}$在定义域上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\\{-2≤a＜b}\end{array}\right.$，即方程f（x）=x在区间[-2，+∞）上有两不相等的实根．
∴k+$\sqrt{x+2}$=x在[-2，+∞）上有两个不相等的实数根．
令$\sqrt{x+2}$=t，则x=t²-2，
∴t²-2-t-k=0有两个不相等的非负根，
令g（t）=t²-t-k-2=（t-$\frac{1}{2}$）²-k-$\frac{9}{4}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{-k-\frac{9}{4}＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-k-2≥0}\\{-k-\frac{9}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2．

点评 本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大．