Question

如果某日在亚丁湾担任护航任务的我海军“马鞍山”舰向西以4

3

海里/小时的速度朝灯塔Q方向，当行驶至距离灯塔3

3

三海里的A处，通过卫星导航系统发现有一可疑小艇位于灯塔的北偏东60°的方向，距灯塔1海里B处，正以4海里/小时的速度朝北偏东60°方向行驶．
（1）t小时后，小艇与“马鞍山”舰相距多少海里？
（2）什么时候两船距离最近？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）如图所示，由题意可得：当t∈[0，

3

4

]小时，小艇距灯塔Q有1+4t海里，“马鞍山”舰距灯塔Q，3

3

-4

3

t海里；利用余弦定理可得CD=

112t2-88t+19

海里．
当t∈(

3

4

，+∞)小时，利用余弦定理可得相距CD=

16t2-40t+37

海里．
（2）利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）如图所示，
由题意可得：当t∈[0，

3

4

]小时，小艇距灯塔Q有1+4t海里，“马鞍山”舰距灯塔Q，3

3

-4

3

t海里；
此时小艇与“马鞍山”舰相距CD=

(1+4t)2+(3 3 -4 3 t)2-2(1+4t)(3 3 -4 3 t)cos30°

=

112t2-88t+19

海里．
当t∈(

3

4

，+∞)小时，小艇距灯塔Q有1+4t海里，“马鞍山”舰距灯塔Q，4

3

t-3

3

海里．
此时小艇与“马鞍山”舰相距=

(1+4t)2+(4 3 t-3 3 )2-2(1+4t)(4 3 t-3 3 )cos30°

=

16t2-40t+37

海里．
（2）由（1）可得：当t∈[0，

3

4

]小时，小艇与“马鞍山”舰相距CD=

112t2-88t+19

．
当t=

11

28

时，CD取得最小值

2 21

7

．
当t∈(

3

4

，+∞)小时后，此时小艇与“马鞍山”舰相距CD=

16t2-40t+37

海里．
当t=

5

4

时，CD取得最小值2

3

．
而

2 21

7

＜2

3

．
∴当t=

11

28

时，CD取得最小值

2 21

7

．

点评：本题考查了余弦定理的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．