Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）记b_n=na_n（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较2S_n与T_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由“对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上”可得到S_n=2ⁿ+r，再由通项与前n项和之间的关系可求得结果．
（2）由（1）得到a_n与S_n（n∈N^*），进而利用错位相减法得到数列{b_n}的前n项和为T_n，作差比较2S_n与T_n的大小即可．

解答：解：（1）因为对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．
所以得S_n=2ⁿ+r，
当n=1时，a₁=S₁=2+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-（2^n-1+r）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，所以a₁=1=2+r
故r=-1；
（2）由（1）可知，a_n=2^n-1，S_n=2ⁿ-1，n∈N^*
又由b_n=na_n（n∈N^*），则b_n=n2^n-1（n∈N^*），
则数列{b_n}的前n项和为T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1       ①
                   2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ         ②
①-②得到：-T_n=2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-2+2^n-1-n×2ⁿ=

20(1-2n)

1-2

-n×2n     
即Tn=n×2n-2n+1=(n-1)×2n+1
所以Tn-2Sn=n×2n-2n+1-2×2n+2×1=(n-3)×2n+3
当n=1时，T_n-2S_n=-1，∴T_n＜2S_n；
当n=2时，T_n-2S_n=-1，∴T_n＜2S_n；
当n＞2时，T_n-2S_n＞0，∴T_n＞2S_n．
综上，当n=1，2时，T_n＜2S_n；当n＞2时，T_n＞2S_n．

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系，错位相减法求和等问题，属中档题，是常考类型．