Question

在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且c=2acosB，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：由（a+b+c）（b+c-a）=3bc，根据余弦定理算出cosA=

1

2

，得到A=60°．再由且c=2acosB，利用正弦定理和两角和与差的正弦公式，算出sin（A-B）=0，得到A=B=60°，由此即可得到△ABC是等边三角形．

解答：解：∵在△ABC中，（c+b+a）（c+b-a）=3bc，
∴c²+b²-a²=bc，可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
结合A为三角形的内角，可得A=60°．
∵c=2acosB
∴由正弦定理，得 sinC=sin（A+B）=2sinAcosB，
展开化简，得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，可得A=B=60°
因此，C=180°-（A+B）=60°
∴△ABC是等边三角形

点评：本题在已知三角形边的关系和边角关系的情况下，判断三角形的形状．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形内角和定理等知识，属于中档题．