Question

8．如图，D是△ABC的BC边上的一点，O₁，O₂和O₃分别为△ABC，△ADB和△ADC外接圆的圆心，求证：A，O₂，O₁，O₃四点共圆．

Answer 1

分析 连接AO₂，交圆O₂于E，连接O₁O₃，并延长交AC于点F，连接O₁O₂，AO₃，CO₃，BE，证明∠AO₂O₁=∠AO₃F，可得A，O₂，O₁，O₃四点共圆．

解答 证明：连接AO₂，交圆O₂于E，连接O₁O₃，并延长交AC于点F，连接O₁O₂，AO₃，CO₃，BE，则∠ABE=90°，
∵O₁O₂⊥AB，
∴O₁O₂∥BE，
∴∠AO₂O₁=∠E，
∵四边形AEBD是圆O₂的内接四边形，
∴∠ADC=∠E，
∴∠ADC=∠AO₂O₁，
∵O₁O₃⊥AC，O₃A=O₃C，
∴∠AO₃F=$\frac{1}{2}$∠AO₃C=∠ADC，
∴∠AO₂O₁=∠AO₃F，
∴A，O₂，O₁，O₃四点共圆．

点评 本题考查证明A，O₂，O₁，O₃四点共圆，考查圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．