题目内容
已知函数f（x）=x+
（a＞0）．
（I）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（II）若a=4，证明：函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
| a | x |
（I）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（II）若a=4，证明：函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
分析：（I）求函数的定义域，利用奇偶性的定义去证明．
（II）设两个变量，利用单调性的定义证明函数的单调性．
（II）设两个变量，利用单调性的定义证明函数的单调性．
解答：解：（I）因为函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
又f(-x)=-x+
=-(x+
)=-f(x)，
所以函数f（x）是奇函数．
（II）当a=4时，f(x)=x+
，
设x1，x2是区间（2，+∞）上的任意两个变量，且2＜x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=x1+
-x2-
=
，
因为2＜x1＜x2，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
又f(-x)=-x+
| a |
| -x |
| a |
| x |
所以函数f（x）是奇函数．
（II）当a=4时，f(x)=x+
| 4 |
| x |
设x1，x2是区间（2，+∞）上的任意两个变量，且2＜x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
因为2＜x1＜x2，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和判断，要求熟练掌握利用定义法去证明和判断．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|