题目内容

设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若 $数学公式$ 的定义域为R，求实数m的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
不等式的解集为 $\text{[math]}$
（2）若 $\text{[math]}$ 的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，f（x）的最小值为2，
所以m＞-2．
分析：（1）对不等式）|2x-1|+|2x-3|≤5，分x≥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ 和x＜ $\text{[math]}$ 三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解，
把求的结果求并集，就是原不等式的解集．
（2） $\text{[math]}$ 的定义域为R，转化为则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求函数f（x）的最小值．
点评：问题（1）考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，属中档题；问题（2）考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，属中等题．