Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，若为线段上的动点（不含）.

（1）平面与平面是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（2）求二面角的余弦值的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）平面平面，理由见解析；（2）

【解析】

(1)利用线面垂直的判定定理证明平面，根据线面关系即可证明平面与平面垂直；

(2)建立空间直角坐标系，根据平面与平面法向量的夹角的余弦的取值范围，计算出二面角的余弦值的取值范围.

（1）因为，为线段的中点.所以.

因为底面，平面，所以，

又因为底面为正方形，所以，，所以平面，

因为平面，所以.因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）由题意，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，令，

则，，，（其中）.易知平面的一个法向量.

设平面的法向量，由即

令，则是平面的一个法向量.，

由，所以，所以.

故若为线段上的动点（不含），二面角的余弦值的取值范围是.