Question

【题目】设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.

(1)求 (2)证明:

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式， 为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.

试题解析：（1）函数的定义域为，

.

由题意可得， .故， .

（2）证明：由（1）知， ，

从而等价于.

设函数，则.

所以当， ；

当时， .

故在上单调递减， 上单调递增，从而在上的最小值为.

设函数，则.

所以当时， ；当时， .故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.

综上，当时， ，即.