Question

已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，
（1）求点P的轨迹L的方程；
（2） 若正方形ABCD的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；
（3）求（2）中正方形ABCD面积S的最小值．

Answer 1

（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x²=4y．（4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k(x-x2)+

x 22

4

（k＞0），

y=k(x-x2)+ x 22 4 x2=4y

，
易知x₂、x₃为该方程的两个根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
从而得|BC|=

1+k2

(x3-x2)=2

1+k2

(2k-x2)（6分）
类似地，可设直线AB的方程为：y=-

1

k

(x-x2)+

x 22

4

，
从而得|AB|=

2 1+k2

k2

(2+kx2)，（8分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得x2=

2(k3-1)

k2+k

，l=f(k)=

4 1+k2 (k2+1)

k(k+1)

（k＞0）．（10分）
（3）因为l=f(k)=

4 1+k2 (k2+1)

k(k+1)

≥

4• (1+k)2 2 •2k

k(k+1)

=4

2

，（12分）
所以S=l²≥32，即S的最小值为32，
当且仅当k=1时取得最小值．（14分）