Question

（2012•金华模拟）已知函数f（x）=lnx+ax+1．
（1）若f（x）在（0，2]是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在（0，2]上的最大值M（a）．

Answer 1

分析：（1）由题意，f′（x）=

1

x

+a≥0在（0，2]上恒成立，分离参数，确定函数的最值，即可求得a的取值范围；
（2）分类讨论：①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2]上递增；②a＜0时，令f′（x）=0，可得x=-

1

a

，进一步确定函数的单调性，即可求得函数的最大值．

解答：解：（1）由题意，f′（x）=

1

x

+a≥0在（0，2]上恒成立
∴a≥-

1

x

在（0，2]上恒成立，∴a≥-

1

2

（2）①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2]上递增，∴M（a）=f（2）=2a+ln2+1
②a＜0时，令f′（x）=0，可得x=-

1

a

若a＜-

1

2

，f（x）在（0，-

1

a

）上递增，在（-

1

a

，2]递减，故M（a）=f（-

1

a

）=-ln（-a）
若-

1

2

≤a＜0，则f'（x）＜0恒成立，，f（x）在（0，2]上递增，故M（a）=f（2）=2a+ln2+1
综上可得f（x）的最大值M（a）=

-ln(-a)，a＜- 1 2 2a+ln2+1，a≥- 1 2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．