Question

【题目】已知函数， .

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）符合要求的整数是或.

【解析】试题分析：（1）求出函数的对称轴，由于y=|f（x）|在[﹣1，0]上是减函数，则讨论区间在对称轴的右边，且f（0）不小于0，区间在对称轴的左边，且f（0）不大于0．解出它们即可；

（2）假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．则f（a）=a，f（b）=a，a≤f（）≤b，由f（a）=f（b）=a，解出整数a，b，再代入不等式检验即可．

试题解析：

（1）令，则.

当，即时， 恒成立，

所以.

因为在上是减函数，

所以，解得，

所以.

由，解得或.

当时， 的图象对称轴，

且方程的两根均为正，

此时在为减函数，所以符合条件.

当时， 的图象对称轴，

且方程的根为一正一负，

要使在单调递减，则，解得.

综上可知，实数的取值范围为.

（2）假设存在整数，使的解集恰好是，则

①若函数在上单调递增，则， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，由于均为整数，

故， ， 或， ， ，经检验均不满足要求；

②若函数在上单调递减，则， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，由于均为整数，

故， ， 或， ， ，经检验均不满足要求；

③若函数在上不单调，则， 且，

即作差得到，代回得到： ，即，由于均为整数，

故， ， 或， ， ，，经检验均满足要求；

综上，符合要求的整数是或