题目内容
已知双曲线
(a＞0，b＞0)的左顶点为A(-1，0)，过点A作两条直线分别交双曲线的右支于B(x1，y1)、C(x2，y2)两点，且ABC为正三角形.(Ⅰ)证明：B、C两点关于x轴对称；
(Ⅱ)设x1＞2，求b的取值范围.
(Ⅰ)证：∵|AB|=|AC|,∴(x1+x2)2+
=(x2+1)2+
∵a=1 ∴
∴(x1+1)2+b2(
-1)=(x2+1)2+b2(
-1)
整理，得 (x1-x2)[(x1+x2)(1+b2)+2]=0
∵x1＞0,x2＞0,∴(x1+x2)(1+b2)+2＞0
∴x1=x2
∴BC⊥x轴，根据双曲线的对称性，B、C关于x轴对称
(Ⅱ)解:(法一)根据(Ⅰ)及∠A=
,设AB的方程为y=
(x+1)
代入x2-
=1并整理，得
(3b2-1)x2-2x-(3b2+1)=0
∵-1,x1是方程的两根，且x1＞2
∴3b2-1＞0,且-1·x1=
∴
∵b＞0,∴b的取值范围为(
)
(法二)根据(Ⅰ)及∠A=60°,得y1=
(x1+1)
∵B(x1,y1)在双曲线x2-
=1上，
∴
整理得b2=
∵x1＞2,∴0＜1+
＜3,∴
＜b2＜1
∵b＞0,∴
＜b＜1,∴b的取值范围是(
,1).
练习册系列答案
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(a＞0,b＞0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求|PF1|·|PF2|的最小值.
(a＞0,b＞0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为
(O为原点),则两条渐近线的夹角为( )
(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
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(a＞0，b＞0) 的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是 ．