Question

（2013•滨州一模）已知向量

m

=(

3

cos

x

4

，cos

x

4

)，

n

=(sin

x

4

，cos

x

4

)，函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+

1

2

c=b，求f（2B）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式化简 函数f（x）=

m

•

n

的解析式为 sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，可得函数的最小正周期4π．令 2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 x的范围，即可求得故函数的单调减区间．
（Ⅱ）由余弦定理化简可得b²+c²-a²=bc，可得cosA=

1

2

，求得 A=

π

3

，可得B+C=

2π

3

，再由三角形为锐角三角形可得

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，再根据正弦函数的定义域和值域求得f（2B）=sin（B+

π

6

）+

1

2

 的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

x

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
故函数的最小正周期为

2π

1 2

=4π．
令 2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得  4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，k∈z，
故函数的单调减区间为[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）在锐角△ABC中，∵acosC+

1

2

c=b，由余弦定理可得 a•

a2+b2-c2

2ab

+

c

2

=b．
化简可得b²+c²-a²=bc，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
∴B+C=

2π

3

，∴

2π

3

-

π

2

=

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1
f（2B）=sin（B+

π

6

）+

1

2

∈（

1+ 3

2

，

3

2

]，即f（2B）的取值范围为（

1+ 3

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦函数，余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．