Question

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=BP=PC=3，

（1）求证：AB ⊥ BC；

（2）设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角的大小.

 

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.     因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC， 所以PD⊥面ABC，D为垂足. 因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC， 可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC. （Ⅱ）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF. 因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF. 因此，PB⊥平面AFC， 所以面AFC⊥面PBC，交线是CF， 因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF， ∠ACF为AC与平面PBC所成的角. 在 Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD= 在Rt△PDC中，DC= 在Rt△PDB中， 在Rt△FDC中，  所以∠ACF=30°. 即AC与平面PBC所成角为30°.