Question

如图，已知F（c，0）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点；⊙F：（x-c）²+y²=a²与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；
（3）设直线BF与⊙F交于另一点G，若△BGD的面积为4

3

，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析：（1）将椭圆左焦点坐标代入圆F的方程，算出a=2c，即可得出椭圆C的离心率；
（2）根据椭圆基本量的平方关系算出圆F与y轴正半轴的交点为椭圆的上顶点，进而得到B(0，

3

c)．再求出D点与A点的坐标，利用直线的斜率公式算出直线AB、BF的斜率，证出直线AB与半径BF相垂直，可得AB与⊙F相切；
（3）利用三角形中线的性质与三角形面积公式，得到△BGD的面积关于c的表达式，解出c²=2，从而得出a²、b²的值，可得椭圆C的标准方程．

解答：解：（1）∵圆F：（x-c）²+y²=a²过椭圆C的左焦点，
∴将（-c，0）代入圆F的方程，得4c²=a²，可得a=2c．
因此，椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

；
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中令x=0，得y²=a²-c²=b²，
∴⊙F与y轴的正半轴的交点为B（0，b），可知点B为椭圆的上顶点，
又∵a=2c，∴b=

a2-c2

=

3

c，故B(0，

3

c)，
在圆F的方程中令y=0，可得点D坐标为（3c，0），
∴D关于y轴的对称点是A（-3c，0），
由此可得直线AB的斜率kAB=

3 c

3c

=

3

3

，
而直线FB的斜率kFB=

3 c

-c

=-

3

，
∵k_AB•k_FB=-1，直线AB与半径BF相垂直，
∴直线AB与⊙F相切．
（3）∵DF是△BDG的中线，
∴S_△BDG=2S_△BFD=|FD|•|OB|=2c•

3

c=4

3

，
解之得c²=2，从而得出a²=4c²=8，b²=3c²=6，
∴所求椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

6

=1．

点评：本题着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，考查了三角形的中线的性质与三角形面积的求法，属于中档题．