Question

（本小题满分12分）如图4，正三棱柱中，，、分别是侧棱、上的点，且使得折线的长最短．
（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ) 略  (Ⅱ)

：（1）∵正三棱柱中，，
∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形（如图），
 
从而，折线的长最短，当且仅当、、、四点共线，
∴、分别是、上的三等分点，其中．……2分（注：直接正确指出点、的位置，不扣分）
连结，取中点，中点，连结、、．
由正三棱柱的性质，平面平面，
而，平面，
平面平面，∴平面．…4分
又由（1）知，，
∴四边形是平行四边形，从而．
∴平面．而平面，∴平面平面．8分
（2）（法一）由（2），同理可证，平面平面．………10分
而平面，平面平面，
∴即为在平面上的射影，
从而是直线与平面所成的角．……12分
在△中，，，
，由余弦定理，
，
即直线与平面所成角的余弦值为．…14分
（法二）取中点为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：
，，，．
从而，
，．…………………10分
设平面的一个法向量为，
则，所以，
即，解之，得，………………………12分
取，得，，∴从而

即直线与平面所成角的正弦值为，
∴直线与平面所成角的余弦值为．…………14分