Question

中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x+y-1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

Answer 1

解：设椭圆方程+=1（a＞b＞0），
∵e=，
∴a²=4b²，即a=2b．
∴椭圆方程为+=1．把直线方程代入化简得5x²-8x+4-4b²=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=，x₁x₂=（4-4b²），
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=（1-4b²）．
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
解得b²=，a²=．
∴椭圆方程为x²+y²=1．
分析：设椭圆方程+=1（a＞b＞0），依题意椭圆方程可转化为+=1，与直线x+y-1=0联立，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），利用OM⊥ON可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得到关于b的关系式，从而可求得b²与a²．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查待定系数法及综合分析与运算能力，属于中档题．