Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）D为椭圆C的右顶点，设A是椭圆上异于D的一动点，作AD的垂线交椭圆与点B，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题设条件可知

a+c=3 a-c=1

解得

a=2 c=1

，由此能够推导出椭圆C的标准方程．
（2）设l：y=kx+m，由方程组

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后结合题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解．

解答：解：（1）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，b²=3，
∴

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=kx+m，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，3+4k²-m²＞0x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1•x2=

4(m2-3)

3+4k2

．y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
∵AD⊥BD，k_AD•k_BD=-1，（或

AD

•

BD

=0）
∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，7m²+16mk+4k²=0，
解得m1=-2k，m2=-

2k

7

，且满足3+4k²-m²＞0
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m=-

2k

7

时，l：y=k(x-

2

7

)，直线过定点(

2

7

，0)．
综上可知，直线AB过定点，定点坐标为(

2

7

，0)．

点评：本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，具有较大的难度，解题时要注意的灵活运用．