Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，若右准线上存在P点使得线段PF₁的垂直平分线恰好过F₂，则该椭圆的离心率的取值范围是______．

Answer 1

由题意得  F1（-c，0）），F2 （c，0），设点P（

a2

c

，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点
K（

a2-c2

2c

，

m

2

 ），∴线段PF₁的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，∴

m-0

a2 c +c

•

m 2 -0

a2-c2 2c -c

=-1，
∴m²=-（

a2

c

+c）•（

a2

c

-3c）≥0，∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥

1

3

，或 e²≤-1（舍去），∴e≥

3

3

．
又椭圆的离心力率  0＜e＜1，故  

3

3

≤e＜1，
故答案为[

3

3

，1）．