Question

已知A、B、C是△ABC三内角，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积得到关于角A的三角函数等式，再利用辅助角公式化简求值即可；
（2）先利用三角函数正弦的二倍角公式化简所给等式，求得角B的三角函数值，再结合三角形内角和定理即可求得角C的三角函数值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=1
∴(-1，

3

)•(cosA，sinA)=1
即

3

sinA-cosA=12(sinA•

3

2

-cosA•

1

2

)=1，sin(A-

π

6

)=

1

2

∵0＜A＜π，-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

∴A-

π

6

=

π

6

∴A=

π

3

（Ⅱ）由题知

1+2sinBcosB

cos2B-sin2B

=-3，整理得sin²B-sinBcosB-2cos²B=0
∴cosB≠0
∴tan²B-tanB-2=0
∴tanB=2或tanB=-1
而tanB=-1使cos²B-sin²B=0，舍去
∴tanB=2
∴tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）
=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

2+ 3

1-2 3

=

8+5 3

11

点评：本小题主要考查三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考查应用、分析和计算能力．