Question

        如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.

   （I）求证：BD⊥FG；

   （II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由.

   （III）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.

Answer 1

（I）见解析（II）G为EC中点（III）

解析:

证明：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，

∴PA⊥BD，AC⊥BD.

∴BD⊥平面APC，

平面PAC，

∴BD⊥FG                           …………7分

   （II）当G为EC中点，即时，

FG//平面PBD，      …………9分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD.    …………13分

  

（III）作BH⊥PC于H，连结DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，      …………11分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角    …………12分

连结EH，则

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是         …………14分

    解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

    D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

   （I）

   

              …………5分

   （II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

           …………7分

故当时，FG//平面PBD   …………9分

设平面PBC的一个法向量为

则，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一个法向量

设所成的角为0，

则

即

                     …………12分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

               …………14分