Question

已知x∈R，向量

OA

=(acos2x， 1)， 

OB

=(2， 

3

asin2x-a)，f(x)=

OA

•

OB

，a≠0．
（Ⅰ）求函数f（x）解析式，并求当a＞0时，f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为5，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则求出f（x），然后利用两角和的正弦函数公式的逆运算把f（x）化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调区间（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

），求出x的范围即为函数的增区间；
（Ⅱ）根据x的范围求出2x+

π

6

的范围，讨论a的正负利用2x+

π

6

的范围及正弦函数的图象可得f（x）的最大值，让最大值等于5列出关于a的方程，求出a的值即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2acos2x+

3

asin2x-a（2分）
=

3

asin2x+acos2x（4分）
=2asin(2x+

π

6

)．（6分）
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)时，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)时．
f（x）为增函数，即f（x）的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)（9分）
（Ⅱ）f(x)=2asin(2x+

π

6

)，当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．
若a＞0，当2x+

π

6

=

π

2

时，f（x）最大值为2a=5，则a=

5

2

．（11分）
若a＜0，当2x+

π

6

=

7π

6

时，f（x）的最大值为-a=5，则a=-5．（13分）

点评：考查学生会根据三角函数值域借助图象求函数的最值，会进行平面向量的数量积的运算，掌握正弦函数的单调性．