题目内容
（2009•大连二模）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为-1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，且直线x-3y+4=0与向量
+
的平行．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设M为椭圆上任意一点，点N（λ，μ），且满足
=λ(
+
)+μ
(λ，μ∈R)，求N的轨迹方程．
| OA |
| OB |
（I）求椭圆的离心率；
（II）设M为椭圆上任意一点，点N（λ，μ），且满足
| OM |
| OA |
| OB |
| AB |
分析：（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）用向量运算将λ，μ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值，即得N的轨迹方程．
（Ⅱ）用向量运算将λ，μ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值，即得N的轨迹方程．
解答：解：（I）设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0），F（c，0）
则直线AB的方程为y=-x+c，代入
+
=1，
化简得（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0．
令A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=
．
∵
+
=（x1+x2，y1+y2），且直线x-3y+4=0的方向向量
=（3，1），
+
与
共线，
∴3（y1+y2）-（x1+x2）=0，又y1=-x1+c，y2=-x2+c，
∴3（-x1-x2+2c）-（x1+x2）=0，
∴x1+x2=
c．
即
=
c，
所以a2=3b2．
∴c=
，
故离心率e=
=
．
（II）由（I）知a2=3b2，
所以椭圆可化为x2+3y2=3b2，F（c，0），
设M（x，y），
由已知
=λ(
+
)+μ
(λ，μ∈R)，
∴
∵M（x，y）在椭圆上，即（λ-μ）2（x12+3y12）+2（λ2-μ2）（x1x2+3y1y2）+（λ+μ）2（x22+3y22）=3b2．①
由（I）知a2=
c2，b2=
c2．
∴x1+x2=
，x1x2=
=
c2
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（-x1+c）（-x2+c）=4x1x2-3（x1+x2）c+3c2=
c2-
c2+3c2=0．
又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，
代入①得λ2+μ2=
．
故N的轨迹方程为λ2+μ2=
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则直线AB的方程为y=-x+c，代入
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
化简得（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0．
令A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
| 2a2c |
| a2+b2 |
| a2c2-a2b2 |
| a2+b2 |
∵
| OA |
| OB |
| a |
| OA |
| OB |
| a |
∴3（y1+y2）-（x1+x2）=0，又y1=-x1+c，y2=-x2+c，
∴3（-x1-x2+2c）-（x1+x2）=0，
∴x1+x2=
| 3 |
| 2 |
即
| 2a2c |
| a2+b2 |
| 3 |
| 2 |
所以a2=3b2．
∴c=
| ||
| 3 |
故离心率e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
（II）由（I）知a2=3b2，
所以椭圆可化为x2+3y2=3b2，F（c，0），
设M（x，y），
由已知
| OM |
| OA |
| OB |
| AB |
∴
|
∵M（x，y）在椭圆上，即（λ-μ）2（x12+3y12）+2（λ2-μ2）（x1x2+3y1y2）+（λ+μ）2（x22+3y22）=3b2．①
由（I）知a2=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴x1+x2=
| 3c |
| 2 |
| a2c2-a2b2 |
| a2+b2 |
| 3 |
| 8 |
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（-x1+c）（-x2+c）=4x1x2-3（x1+x2）c+3c2=
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，
代入①得λ2+μ2=
| 1 |
| 2 |
故N的轨迹方程为λ2+μ2=
| 1 |
| 2 |
点评：考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．是高考常见题型且是解答题．
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