题目内容
已知首项为1的数列{an}满足：对任意的正整数n，都有：a1·
+a2·
+…+an·
=(n2-2n+3)·2n+c，其中c是常数.（1）求实数c的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{
·
}的前n项和为Sn，求证：S2n-1＞S2m，其中m、n∈N*.
解：（1）由a1=1及a1·=(12-2×1+3)·21+c得c=-3.
（2）当n≥2时，有an·=(n2-2n+3)·2n-［(n-1)2-2(n-1)+3］·2n-1=n2·2n-1,
设函数f(x)=x2·2x-1=·2x,则f()=f(n),当x＞0时，f′(x)=x·2x+·2xln2＞0,
函数f(x)在区间［0,+∞)上是增函数，故
=n,an=n2.
又a1=12,从而对
n∈N*,有an=n2.8分
（3）证明:对
n∈N*,
·
=n·(
)n-1，
Sn=1+2·(
)1+3·(
)2+…+(n-1)·(
)n-2+n·(
)n-1,
(
)Sn=(
)+2·(
)2+…+(n-1)·(
)n-1+n·(
)n，
两式相减，得
Sn=1+(
)+(
)2+…+(
)n-1-n·(
)n，
Sn=
-n·(
)n=
-(
)n(n+
)，Sn=
［1-(
)n(
n+1)］.
∵S2n-1=
［1-(
)2n-1(3n
)］=
［1+(
)2n-1(3n
)］＞
,S2m=
［1-(
)2m(3m+1)］
=
［1-(
)2m(3m+1)］＜
,∴S2n-1＞S2m.
练习册系列答案
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，其中c是常数．
的前n项和为Sn，求证：S2n-1＞S2m，其中m，n∈N*．
，其中c是常数．
的前n项和为Sn，求证：S2n-1＞S2m，其中m，n∈N*．