题目内容

已知首项为1的数列{a_n}满足：对任意正整数n，都有： $数学公式$ ，其中c是常数．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列 $数学公式$ 的前n项和为S_n，求证：S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．

解：（Ⅰ）当a=1时，1×2⁰=2×2+c，
解得c=-3．
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，①
∴ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =[（n-1）²-2（n-1）+3]•2^n-1+c，②
①-②，并整理，得 $\text{[math]}$ ，
∴a_n=n²．
（Ⅲ）∵a_n=n²，
∴数列 $\text{[math]}$ ={n• $\text{[math]}$ }．
∴S_2n-1=1+2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ +…+（2n-1）• $\text{[math]}$ ，
- $\text{[math]}$ S_2n-1=1 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +…+（2n-2）• $\text{[math]}$ +（2n-1）• $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ S_2n-1=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -（2n-1）• $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
同理，S_2m= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
∴S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．
分析：（Ⅰ）当a=1时，1×2⁰=2×2+c，解得c=-3．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由a_n=n²，知数列 $\text{[math]}$ ={n• $\text{[math]}$ }．由错位相减法求得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．S_2m= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．所以S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意特殊值和错位相减法的合理运用．