Question

（2013•成都二模）函数f（x）=|sinx-cosx|+sinx+cosx（x∈R）的最小值为（　　）

• A．O
• B．-

  2

  2

• C．-

  2

• D．-2

Answer 1

分析：根据题意，得函数f（x）的最小正周期为2π．由sinx与cosx大小关系，在区间[

π

4

，

9π

4

）上分两种情况加以讨论，分别求区间[

π

4

，

5π

4

]和（

5π

4

，

9π

4

）上f（x）的最小值，再综合可得当x=

5π

4

时，f（x）取得最小值-

2

．由此即可得到f（x）在R上的最小值．

解答：解：根据题意，得函数f（x）的最小正周期为2π，
因此设x∈[

π

4

，

9π

4

），函数f（x）在[

π

4

，

9π

4

）上的最小值即为f（x）在R上的最小值
①当x∈[

π

4

，

5π

4

]时，有sinx≥cosx，此时f（x）=（sinx-cosx）+sinx+cosx=2sinx，
结合y=sinx在区间[

π

4

，

π

2

）上为增函数，在区间（

π

2

，

5π

4

]上为减函数
可得当x=

5π

4

时，f（x）最小值为2sin

5π

4

=-

2

②当x∈（

5π

4

，

9π

4

）时，有sinx≤cosx，此时f（x）=（-sinx+cosx）+sinx+cosx=2cosx，
结合y=cosx在区间（

5π

4

，π）上为增函数，在区间（π，

9π

4

）上为减函数
可得f（x）最小值大于2cos

5π

4

=-

2

综上所述，当x=

5π

4

时，f（x）取得最小值-

2

．
因此f（x）在R上的最小值等于-

2

故选：C

点评：本题给出含有绝对值的三角函数式，求函数的最大值．着重考查了三角函数的周期性、单调性与最值求法等知识，属于基础题．