Question

已知椭圆左右两焦点为F₁，F₂，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：由相似三角形知，，，2a²λ-b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），．
（1）由，知，在上单调递减．由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．
（2）当时，，所以，2b²=a²．由PF₂⊥F₁F₂，知PF₁是圆的直径，圆心是PF₁的中点，由此能求出圆Q的方程．
（3）椭圆方程是，右准线方程为，由直线AM，AN是圆Q的两条切线，知切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为，由此能够导出直线MN必过定点．
解答：解：由相似三角形知，，，
∴2a²λ-b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），．
（1），∴，在上单调递减．
∴时，e²最小，时，e²最大，
∴，∴．
（2）当时，，∴，∴2b²=a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圆的直径，圆心是PF₁的中点，
∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF₁=6．
又，∴．
∴，圆心Q（0，1），半径为3，x²+（y-1）²=9．
（3）椭圆方程是，右准线方程为，
∵直线AM，AN是圆Q的两条切线，∴切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为，
∴该圆方程为．∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程．
该直线化为：，
∴，∴
∴直线MN必过定点．
点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．