Question

已知椭圆左右两焦点为F₁，F₂，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．

（1）求椭圆的离心率e的取值范围；

（2）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；

（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：

圆与圆锥曲线的综合．

专题：

综合题．

分析：

由相似三角形知，，，2a²λ﹣b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），．

（1）由，知，在上单调递减．由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．

（2）当时，，所以，2b²=a²．由PF₂⊥F₁F₂，知PF₁是圆的直径，圆心是PF₁的中点，由此能求出圆Q的方程．

（3）椭圆方程是，右准线方程为，由直线AM，AN是圆Q的两条切线，知切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为，由此能够导出直线MN必过定点．

解答：

解：由相似三角形知，，，

∴2a²λ﹣b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），．

（1），∴，在上单调递减．

∴时，e²最小，时，e²最大，

∴，∴．

（2）当时，，∴，∴2b²=a²．

∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圆的直径，圆心是PF₁的中点，

∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF₁=6．

又，∴．

∴，圆心Q（0，1），半径为3，x²+（y﹣1）²=9．

（3）椭圆方程是，右准线方程为，

∵直线AM，AN是圆Q的两条切线，∴切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为，

∴该圆方程为．∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程．

该直线化为：，

∴，∴

∴直线MN必过定点．

点评：

本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．