Question

已知函数f（x）=x（x-3）²，x∈[0，+∞），存在区间[a，b]⊆[0，+∞），使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，则最小的k值为（ ）
A．1
B．4
C．9
D．

Answer 1

【答案】分析：先利用导数研究函数的单调性和极值，然后由函数y=f （x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]可判断出k＞0，结合函数的单调性讨论a、b，建立方程，即可得到实数k的取值范围，从而求出最小值．
解答：解：∵f（x）=x（x-3）²=x³-6x²+9x    x∈[0，+∞），
∴f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x∈[0，1]时f′（x）≥0，则函数在[0，1]上单调递增
当x∈[1，3]时f′（x）0，则函数在[1，3]上单调递减
当x∈（3，+∞）时f′（x）＞0，则函数在（3，+∞）上单调递增
∴当x=1时，函数取极大值4，当x=3时，函数取极小值0．
（1）当a，b∈[0，1]时，f（x）在[0，1]上为增函数，
∴即在[0，1]上存在两个不等的实数使得（x-3）²=k
而（x-3）²在[0，1]上单调递减，故不存在；
（2）当a，b∈[1，3]时，f（x）在[1，3]上为减函数，
∴即a=b，此时实数a，b的值不存在．
（3）当a，b∈（3，+∞）时，f（x）在（3，+∞）上为增函数，
∴即在（3，+∞）上存在两个不等的实数使得（x-3）²=k
而（x-3）²在（3，+∞）上单调递增，故不存在；
（4）当a∈[0，1），b∈[1，3]时，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
∴k=∈[，4]
（5）当a∈（1，2），b∈[3，+∞）时，3∈[a，b]，f（3）=0=ka
根据题意可知k＞0
∴a=0，不可能
（6）当a∈[0，1），b∈[3，+∞）时，3∈[a，b]，f（3）=0=ka，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
根据题意可知k＞0
∴a=0，
令f（x）=x（x-3）²=4解得x=1或4
∴3≤b≤4而k=∈[1，]
（7）当a∈[0，1），b∈[4，+∞）时，4∈[a，b]，f（4）=1，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
根据题意可知k＞0，∴a=1，
令f（x）=x（x-3）²=4解得x=1或4
∴b=4而k==1．
综上所述：k∈[1，4]
最小的k值为1
故选A．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合应用，利用导数研究函数的单调性和极值，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，同时考查了分类讨论的思想，方程的思想，考察了推理判断能力，是一道综合性较强的题，思维难度大，解题时要严谨，属于难题．