Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|+|BF|=2

2

，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：x2+y2=

2

3

的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₀，y₀）B（-x₀，y₀）F（c，0）（c²=a²+b），由椭圆定义及|AF|+|BF|=2

2

可求a，而
|AB|=

(2x0)2+(2y0)2

=2

x02+(1- x02 a2 )b2

=2

b2+ c2x02 a2

可求b，进而可求椭圆方程
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m，由L与圆x2+y2=

2

3

相切，可得

|m|

1+k2

=

6

3

L的方程为y=kx+m代入

x2

2

+y2=1中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），
Q（x₂，y₂），x1+x2=

-4km

1+2k2

，要证

OP

⊥

OQ

，只要证明

OP

•

OQ

=0即可

解答：解：（Ⅰ）设A（x₀，y₀）B（-x₀，y₀）F（c，0）（c²=a²+b）
则|AF|+|BF|=2a=2

2

∴a=

2

-----------------------------------------（1分）|AB|=

(2x0)2+(2y0)2

=2

x02+(1- x02 a2 )b2

=2

b2+ c2x02 a2

∵0≤x₀²≤a²∴|AB|_min=2b=2∴b=1所以有椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1-----------------（5分）
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m
L与圆x2+y2=

2

3

相切，
∴

|m|

1+k2

=

6

3

∴m2=

2

3

(k2+1)-----------------（7分）
L的方程为y=kx+m代入

x2

2

+y2=1中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
x1+x2=

-4km

1+2k2

①
x1x2=

2m2-2

1+2k2

②
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

③--------------------（10分）

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

2m2-2

1+2k2

+

m2-2k2

1+2k2

=

3m2-2k2-2

1+2k2

=0
∴

OP

⊥

OQ

------------------------------------------------------（12分）

点评：本题主要考查了由椭圆的性质、定义求解椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系的应用，解题中要求考试具备一定的逻辑推理、计算的能力．