Question

定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

Answer 1

解：（1）设A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y）
则，
|AB|=3==1
（2）存在满足条件的D点．
设满足条件的点D（0，m），则，
设l的方程为：y=kx+，（k≠0），
代入椭圆方程，得（k²+4）x²+2kx﹣1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=﹣，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2．
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴，
=，
的方向向量为（1，k），=0，
∴﹣﹣2mk=0即m=
∵k²＞0，
∴m=，
∴0＜m＜，
∴存在满足条件的点D．