Question

 

如图，已知四棱锥中，侧棱平面，底面是平行四边形，，，，分别是的中点．

（1）求证：平面

（2）当平面与底面所成二面角为时，

求二面角的大小．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：

（1）证明：∵平面，∴的射影是，的射影是，

∵∴∴，且，

∴是直角三角形，且，…………………………………3分

∴，∵平面，∴，

且，∴平面……………………………………………………………6分

（2）解法1：由（1）知，且是平行四边形，可知，

又∵平面，由三垂线定理可知，，

又∵由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面所成二面角，故，故在中，，∴，，

从而又在中，，

∴在等腰三角形，分别取中点和中点，连接，和，

∴中位线，且平面，∴平面，

在中，中线，由三垂线定理知，，

为二面角的平面角，

在中，，，

，，

∴二面角的大小为.

 

解法2：由(Ⅰ)知，以点为坐标原点，以、、

所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，

，，，

则，，

设平面的一个法向量为,

则由

又是平面的一个法向量，

平面与底面所成二面角为

，解得，

设平面的一个法向量为,

则由.

又是平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，则

，∴ ∴

∴二面角的大小为.…………………….…….……12分