Question

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为    
（I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解:(I）设，直线，
由坐标原点到的距离为 则，
解得 .
又.
（II）由(I）知椭圆的方程为.
设、由题意知的斜率为一定不为0，
故不妨设 代入椭圆的方程中
整理得，
显然。
由韦达定理有：
①.假设存在点P，使成立，
则其充要条件为：点，点P在椭圆上，
即。
整理得。          
又在椭圆上，即.
故
②将及①代入②
解得
,=,
即.
当;
当.