Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若θ为锐角，且，求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f（x）解析式两项分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间[2kπ-，2kπ+]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间；
（Ⅱ）将x=θ+代入f（x）解析式，利用诱导公式变形求出cos2θ的值，再利用二倍角的余弦函数公式化简，得到cosθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ的值，即可求出tanθ的值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π，
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
则单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴sin（2θ+）=，
∴cos2θ=2cos²θ-1=，
∵θ为锐角，∴cosθ=，
∴sinθ==，
∴tanθ==．
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．