Question

【题目】如图，直三棱柱中， , ， , 分别为和上的点，且．

（1）当为中点时，求证： ；

（2）当在上运动时，求三棱锥体积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）18.

【解析】试题分析：（1）当为中点时，可得平行四边形为正方形，通过平面得到，由已知得，故而可得平面，由此能证明结果；（2）设，则， 到平面的距离为，根据等体积法可得，利用二次函数的性质可得最小值.

试题解析：（1）证明：∵为的中点，故为的中点，三棱柱为直三棱柱，∴平行四边形为正方形，∴，

∵， 为的中点，∴，

∵三棱柱为直三棱柱，

∴平面，又平面，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴．

（2）设，则

由已知可得到平面的距离即为的边所对的高， ∴

∴当，即为的中点时， 有最小值18．