Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=4x上相异两点，且满足x₁+x₂=2．
（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线A的方程；
（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：方法一：
（I）设直线AB的方程为y=kx+b，与y²=4x联立，利用韦达定理结合x₁+x₂=2可求得直线AB的方程为y=k（x-1）+，而AB中点的坐标为（1，），AB的中垂线经过点P（0，2），可求得AB的斜率，从而可求直线AB的方程；
（Ⅱ）依题意，直线AB的方程为k²x-ky+2-k²=0，利用点到直线间的距离公式可求得点M到直线AB的距离d，联立AB的方程与抛物线方程，结合韦达定理可求得|AB|，于是可得到面积表达式，通过导数法即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程；
法二：（Ⅰ）设AB的中点为Q（1，t），可求得k_AB=，由（t-2）•=-1，可求得t继而可得直线AB的方程为y=x-；
（Ⅱ）依题意可得直线AB的方程，继而可求点M到直线AB的距离为d==，从而可得面积表达式，利用基本不等式即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．
解答：解：方法一：
（I）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，
所以设直线AB的方程为y=kx+b，代入方程y²=4x得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0
∴x₁+x₂==2，…（2分）
得：b=-k，
∴直线AB的方程为y=k（x-1）+，
∵AB中点的横坐标为1，
∴AB中点的坐标为（1，）    …（4分）
∴AB的中垂线方程为y=-（x-1）+=-x+，
∵AB的中垂线经过点P（0，2），故=2，得k=      …（6分）
∴直线AB的方程为y=x-，…（7分）
（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂线方程为y=-x+，
∴M点的坐标为（3，0）…（8分）
因为直线AB的方程为k²x-ky+2-k²=0，
∴M到直线AB的距离d==      …（10分）
由得y²-ky+2-k²=0，
y₁+y₂=，y₁y₂=，
|AB|=|y₁-y₂|=            …（12分）
∴S_△AMB=4（1+），设=t，则0＜t＜1，
S=4t（2-t²）=-4t³+8t，S′=-12t²+8，由S′=0，得t=，
即k=±时S_max=，
此时直线AB的方程为3x±y-1=0．…（15分）
（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）
法二：
（1）根据题意设AB的中点为Q（1，t），则k_AB==      …（2分）
由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t-2，…（4分）
由（t-2）•=-1，得t=，…（6分）
∴直线AB的方程为y=x-，…（7分）
（2）由（1）知直线AB的方程为y-t=（x-1），…（8分）
AB中垂线方程为y-t=-（x-1），中垂线交x轴于点M（3，0），
点M到直线AB的距离为d==，…（10分）
由得：4x²-8x+（t²-2）²=0，
∴|AB|=|x₁-x₂|=，x₁+x₂=2，x₁x₂=
∴S=|AB|•d==≤=，
当t²=时，S有最大值，此时直线AB方程为3x±y-1=0…（15分）
点评：本题考查：直线的一般式方程，考查：直线的一般式方程与直线的垂直关系，突出考查点到直线的距离公式，属于难题．