Question

已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）试用含a的式子表示b，并求函数f（x）的单调区间；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂）为函数f（x）图象上不同两点，G（x₀，y₀）为AB的中点，记AB两点连线斜率为K，证明：f′（x₀）≠K．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；
（2）因为A与B在函数图象上，所以把A和B的坐标分别代入函数解析式中得到关于两点纵坐标的两个关系式，利用斜率的算法表示出斜率k，然后利用中点坐标公式根据A和B的横坐标表示出中点G的横坐标，并把求出的G横坐标的值代入导函数，利用反证法证明，方法是：假设表示出的斜率k等于G的横坐标在导函数的函数值，化简后令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

，求出u（t）的导函数，判断出导函数大于0得到u（t）为增函数，得到u（t）小于0与题意矛盾，所以假设错误，故f′（x₀）≠k．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=

1

x

-ax+b=0，
∴b=a-1，∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

，
当f′（x）＞0时，得-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
当f′（x）＜0时，得-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
；∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；

（2）因A、B在f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx(a＞0)的图象上，
∴y1=lnx1-

1

2

ax12+(a-1)x1，y2=lnx2-

1

2

ax22+(a-1)x2，
∴K=

y2-y2

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x2+x2)+a-1，
∵x0=

x2+x1

2

，f′(x)=

1

x

-ax+a-1，
∴f′(x0)=

2

x2+x2

-a•

x2+x2

2

+a-1，
假设k=f′（x₀），则得：

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x2+x2)+a-1=

2

x2+x2

-a•

x2+x2

2

+a-1，
即

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

，令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

(0＜t＜1)，
∵u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt-

2t-2

t+1

＜0，所以假设k=f′（x₀）不成立，
故f′（x₀）≠k．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题．